今天联片教研活动，听了两节课。讲的内容都是二年级上册乘法口诀（二）的例5，解决问题，这是学生在学习了乘法口诀后，尝试运用所学知识解决“够不够”的问题。

“够不够”的问题，本质上是比较两个数量的大小。这个例题里比的是人数和座位数，人数多，不够坐，反之够坐。人数用加法能解决，座位数的得出稍显麻烦。

导入环节
第一节课上，导入的设计除了表内乘法的口算题，又增加了两道题，剑指计算座位的方法；下边是两道导入题目：

1.一共有多少颗五角星？
☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
☆ ☆ ☆ ☆ ☆
2.二一班有45个小朋友，现在有42个本，每人发一个，够吗？
这两道题目的设计，一是“填补法”计算星星的颗数，二是复习解决“够不够”问题的模型。
知道了什么？
例题出示后，两个老师都能带领学生很快抽象出数学问题，比较人数和座位数的多少。
怎么解答？
第一节课设计了一个有6幅“座位示意图”的学习任务单，每人一份尝试用多种方法计算座位数；第二节课老师用的是正反打印的两个“座位示意图”，同桌合用一份。要求同样都是圈一圈、画一画，并用算式写出自己的想法。


两相对比，第一节课交流的比较深入，相同的算式展示不同的圈法，“圈的一份”可以是横着看，也可以是竖着看，交流了六类不同的算式，最后通过比较得出观察的角度不同，可以有不同的策略。第二节课稍微显得单薄。
解答正确吗？
两节课都在第二个计算座位数的环节用了大量的时间，到下课刚刚能够比出大小来。

评课时不知道该从何谈起，胡乱说了一气。记录一下评课环节几点零散但真实的想法。
一. 本节课什么是重点？
解决问题，是解决“够不够”这类问题的思路和格式是重点，还是计算座位数的方法和策略是重点。课本在这个单元末尾安排这个例题，显而易见是要用所学的乘法知识——乘加/乘减来解决生活中的实际问题，使用乘法来计算座位数应该是重点。有此疑问，是因为学生到了高年级，依然有相当一部分学生解决“够不够”、“行不行”、“能不能”等这类比较两个数量的问题时，经常出错。表现一为无从下手，不知道谁和谁比；二是模糊地知道该算什么，计算正确但回答错误，本该能的答不能，不够的答够。
造成这种情况的，应该跟教师把解决问题的重点，完全放在了运用当前所学知识上，如这节课重点完全放在计算座位数上，学生没有完整地经历解决这类问题的全过程，程度较差的学生，只是知道了计算座位数的几种方法，而不知道算来何用。
二. 数学素养的培养，本节课体现在哪里？
再重头思考，学生拿到这样的问题该如何解决？只要能从这个现实问题中抽象出数学问题：座位数和人数比，例题中给出了“座位示意图”，完全可以数一数座位数去比较，也可以模拟着把学生和老师一个个安排个座位来看够不够。两节课上都没有出现这种情况，应该有两方面原因，一是学生素养也许真的提高了，二是老师没给学生独立尝试解决这个问题的机会。
应该可以预见的是，二年级大部分的学生不会这么去数座位、去模拟安排座位。他们能很直观地看到一组一组或者一份一份，知道数的时候怎样可以快点数，而不是一个一个地数。只要能一组一组去数，不论是横着看成一组，还是竖着看成一组，都是学了乘法之后该有的数感，也是学生在用数学的眼光观察和分析。
由此，本节课学生素养的提升，就在于用乘法的眼光来计数，能从不同角度看到座位数是几个几加/减几，进而优化计数的策略，淘汰3个一组、5个一组的情况，保留最容易找到的组：一行为一组、一列为一组、甚至分成三大组（14+14+5）。在此还应对比乘加比乘减要简单点儿——加1比减7要简便。
三. 如果让我再上这节课，该如何安排教学环节？
（一）复习做好铺垫（乘法口诀、乘加/乘减——或许可出示算式，如3×5-2，让学生讲算的是什么）
（二）探究环节
知道了什么，抽象出数学问题，明确是座位数和人数比，座位数多就坐得下，人数多就坐不下（多找几个人说一说，尽可能多的人掌握解决“够不够”这类问题的整体思路）。
怎样解答，可以先让学生独立尝试，再交流。学生有了解决这类问题的整体框架，再重点交流算座位数的方法，此时可以再安排任务学习单，每人一张，给出四个“座位示意图”应该就够用了，再多分组会出现3个一组这种不合适的情况了。然后交流、对比、优化，深化乘法的用法。
解答正确吗，引领学生反思解决此类问题的整体思路，再次检查。
（三）练习巩固
（四）回顾与收获

订阅的公众号上推送了一篇文章，正好是本周教研活动要听的课：《平行与垂直》顾志能名师导航站||我们一起备课吧37-“平行与垂直”（一稿）打开看了看，发现了点儿有意思的东西。

重要的数学课，其教法自然也是成熟且基本定型的。以人教版为例，老师们一般都是按教材推荐的过程来进行教学的（如图）。


请学生任意画两条直线，形成各种不同的情况——组织学生对各种情况进行分类，得出“相交”和“不相交”——先研究“不相交”，逐步建构“平行”的概念（择机强调“同一平面”），教学记法、读法——再对“相交”进一步分类，研究其中的特例（相交成直角），得出“垂直”的概念，教学记法、读法——综合练习、联系生活等。
如上教法，虽然普通平凡，但却是科学合理的。因为，这是一节概念课，概念的得出，就是需要人们在对事物（对象）的不断感知中，慢慢地发现（抽取）其本质的属性。如，画两条直线，进行分类，抓住“不相交”，多种方式说明其永远不会相交，这个过程就是在充分感知平行线最本质的三个属性——同一平面内、两条直线、不相交。再如，一次分类（分成相交和不相交）、再次分类（相交分成普通相交和垂直），不断细分的过程，就是对两条直线的关系深入感知、不断清晰的过程，数学概念正是在这样的过程中逐步建构的。
文中从“学生的问题”和“教学路径”两方面来进一步分析了这节课，给出了很好的研究方向。使我感兴趣的却是另一个问题。
根据人教版的编排体系，平行与垂直是从分类出发，认识同一平面内两条直线的关系——相交和平行。从学生直观感受来说，相交分看的见的相交和看不见的相交，看不见的相交需要延长后才能相交。那么问题来了，延长后才能相交的，当夹角足够小，也就是两条直线接近平行的情况下，学生受纸张大小无法操作验证，也就无从判断。也就是说，从分类得出来的概念，受学生的空间想象能力和极限思想的限制，相交和平行很难有一个清晰的界限，学生对于平行线本质的概念，难以产生一个清晰的认知。而对于同一平面的认识，更是局限于同一张纸、同一块黑板。
教教材，还是用教材教。且看看其它版本是如何编排的。
北师大版：




知识点的编排结构就不提了，单提平行概念的得出，这里借助平移来得出平行的概念，给学生一个直观的认识，平移前和平移后的线段，形状大小不变，距离也不变，最关键的是，不论怎么平移它们都处在同一平面内。借助平移运动来认识平行，比分类得到的平行，界限要清晰的多，抽象出平行的本质特征也会容易许多。
苏教版

这个知识点前边安排的是直线射线，角的分类，量角画角，直接给出垂直，接着才是这个平行，苏教版这单元标题就叫垂线与平行线。
冀教版：

尽信书则不如无书，顺应学生认知的规律，找准切入点，才能事半功倍。匆忙间整理，容后再续。

1.数学课程的基本理念：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。

2.小学阶段应给学生渗透的数学思想有：符号思想、模型思想、化归思想、推理思想、函数思想、统计思想、集合思想、一一对应思想、分类思想、分类计数思想、数形结合思想、化繁为简思想、优化思想等。

3.什么是数学？数学是研究数量关系和空间形式的科学。

4.数学的10个核心概念：数感、符号意识、空间图形、几何直观、数据分析能力、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。

5.数学分为几个领域：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。

6.①四基是指数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

②四能是指发现问题的能力,提出问题的能力,分析问题的能力,解决问题的能力。

③三会是指会说、会辩、会用。

④六素养是指数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析。

7.具体目标的四个方面：知识技能方面、数学思考方面、问题解决方面、情感态度方面。

8.总目标中的育人价值：关于良好的数学教育，可以从八个方面进行理解：在数学活动中，能够探寻数学的本质，体验到数学的精神，进而学到数学知识，学会数学的思维，掌握好数学的方法，逐步形成一定的数学能力，慢慢感悟和理解数学的思想，在不知不觉中提升数学素养。唯其如此，当有一天学生离开学校之后，他也许忘记了许许多多的数学公式和定理，但他在头脑中能够进行严密的逻辑推理、周密的思考，能从数学的角度分析问题和解决问题，清晰而有条理地表达自己的观点，能够运用数学思想方法去处理在非数学领域遇到的问题等，我们就说这个公民具备了良好的数学素养。

9.“综合与实践”的教学究竟如何展开？“综合与实践”本质上是一种解决问题的活动，具有实践性、综合性和应用性。既然是解决问题的活动，就可以按照解决问题的程序分以下四个阶段展开：进入问题情境；实践体验；解决问题；表达和交流。

“综合与实践”要让学生经历“提出问题——分析问题——建立数学模型——求解——解释与应用”的问题解决过程。

10.数学核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。

11.核心素养的内涵包括核心知识、核心能力、核心品质，但不是它们的简单相加。任何一门学科的目标定位和教学活动都要从素养的高度来进行。价值引领、思维启迪、品格塑造是学校和教师的三大核心任务。

13. 一堂好课的10条评价标准

评价一堂好课的第一标准就是看师生的精神面貌，

评价一堂课，第二个方面就看学生学习的兴趣是否浓郁，看老师的煽风点火是否奏效，看课程设计是否能激趣，看合作探究有没有吸引力，看研习收获有没有成就感，看多元互动有没有感召力，看学生的注意力有没有分散转移。

第三个标准就是学生是否自主，有没有互动，有没有因人而异体现个性化教学，有没有优势互补倡导合作学习，有没有站在学生的立场上从学的角度去设计问题，有没有关注学生的发展差异并提供阶梯式套餐……

一堂好课的标准，即学生学习的主动性、多元的互动性、自行获取知识的实践性，等等，其实，还可以用一个词来总而言之，那就是“有效性”。

教学效率表现在两个方面：一是全员参与的影响面，二是个体效率的平均值。

一、精神面貌：手握钢枪上战场

二、求知欲望：追根究底探黄泉

三、教学方式：自主活动求实效

四、教学效率：张弛有度分劳逸

五、知识容量：科学合理有梯度

六、能力训练：立竿见影搞反馈

七、目标达成：当堂检测要灵活

八、延展带动：余音绕梁怕下课

九、师生关系：融洽和谐春满园

十、课堂情景：胜似联欢喜洋洋

6.本节课发展了学生的哪些能力，体现了哪些核心素养？

烙饼问题的数学意义——核心目标是让学生感受并理解优化的数学思想。

学生为什么要学习“烙饼问题”（教师为什么要上这节课？）——学习烙饼问题的目的是为了让学生在探索规律、明确道理的基础上，体会和感悟“优化”这一数学思想，建立数学模型，不仅可以提高学生的思维能力，而且可以更好地帮助学生积累丰富的数学活动经验。为学生将来学习数学的其它领域及其他学科的知识奠定良好的方法、思想、模型、经验等的基础。

“烙饼问题”单单是“烙饼的问题”吗？是什么——“烙饼问题”不单单是“烙饼的问题”，要在探究烙3张饼怎样省时间的基础上，探索烙更多张饼的最优化策略和方法，探究其中的规律且明确道理：总面数÷最大资源数＝最短时间

怎样来学清楚“烙饼问题”？怎样来感悟优化思想？（怎么样来教清楚这节课？）——（1）由具体到抽象，循序渐进，发展数学思维，理解优化思想。一方面，为学生营造实践感悟的空间，实践中体验解决问题的多种策略，比较中寻求最优策略，体验中感悟优化思想，避免只有直观没有抽象，或直接阐述数学思想而疏漏感悟体验的过程。另一方面可利用图表将外化的“做”浓缩为内隐的“思”，在动手操作中提升思维活动，将行为的感知升华为理性的思维认知，使学生发展思维能力的同时理解抽象的数学思维。

数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。特别是20世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。

数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。

一、课程性质

义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。

二、课程基本理念

1．数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。

2．课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。

3．教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。

数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。

学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。

教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验。

4．学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。应建立目标多元、方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。

5．信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。

三、课程设计思路

义务教育阶段数学课程的设计，充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。

按以上思路具体设计如下。

（一） 学段划分

为了体现义务教育数学课程的整体性，本标准统筹考虑九年的课程内容。同时，根据学生发展的生理和心理特征，将九年的学习时间划分为三个学段：第一学段（1~3年级）、第二学段（4~6年级）、第三学段（7~9年级）。

（二） 课程目标

义务教育阶段数学课程目标分为总目标和学段目标，从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等四个方面加以阐述。

数学课程目标包括结果目标和过程目标。结果目标使用“了解”“理解”“掌握”“运用”等行为动词表述，过程目标使用“经历”“体验”“探索”等行为动词表述（行为动词解释见附录1）。

（三） 课程内容

在各学段中，安排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”。其中，“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。

“数与代数”的主要内容有：数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计；字母表示数，代数式及其运算；方程、方程组、不等式、函数等。

“图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。

“统计与概率”的主要内容有：收集、整理和描述数据，包括简单抽样、整理调查数据、绘制统计图表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、方差等；从数据中提取信息并进行简单的推断；简单随机事件及其发生的概率。

“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合。提倡把这种教学形式体现在日常教学活动中。

在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。

数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。

符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。

空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。

几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。

运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。

推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。

应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。

创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。